Дискретной масштабной

В отрасли выполнены и внедрены в практику экономико-математические модели оптимизации и размещения производства асинхронных низковольтных электродвигателей, силовых трансформаторов, кабельной техники, источников света и светотехнических изделий, электрокерамических изделий, объем производства которых составляет около 40% отраслевого выпуска. За основу принимались динамические производственно-транспортные модели в вариантной постановке с дискретными переменными. Вместе с тем в каждом конкретном случае учитывалась специфика электротехнических производств.

Для использования в планировании ЭММ необходимы экономико-математические модели, содержащие основные параметры процессов и выражающие их связи в виде уравнений или неравенств. В электротехнической промышленности накоплен значительный опыт оптимизации планирования. В наибольшей мере это относится к решению задачи перспективного планирования, развития, специализации и размещения отрасли и отдельных производств. Оптимизация планирования в отрасли позволяет учитывать в расчетах значительно большее число факторов, чем при использовании традиционных методов планирования, выбирать наилучший из вариантов в заданных условиях с точки зрения критерия оптимальности. За основу принимаются динамические производственные или производственно-транспортные модели в вариантной постановке с дискретными переменными. Вместе с тем в каждом конкретном случае учитывается специфика производства.

При постановке задачи с дискретными переменными величинами на основе предварительного технологического и экономического анализа и обоснования заранее формируется некоторое конечное число возможных вариантов развития и специализации каждого из производственных объектов. Необходимые затраты устанавливаются также только для этих вариантов. Считается, что любой из указанных вариантов либо целиком входит в план, либо полностью исключается из него.

"•,' Обратим внимание на то, что множество допустимых значений модели с дискретными переменными не является выпуклым, поскольку переменные не могут принимать любые промежуточные значения. Этим определяется сложность исследования линейных целочисленных моделей и тем более нелинейных целочисленных моделей,которые также встречаются в исследованиях.

Известно, что все математические модели (модели математического программирования) можно разделить на две большие группы: модели с непрерывными и модели с дискретными переменными. Среди экономических задач по выбору оптимальных вариантов можно выделить задачи, которые можно решить как в непрерывной, так и в дискретной постановке. Сюда относятся, например, задачи отраслевого и заводского планирования. Возникает вопрос: когда необходимо использовать непрерывную постановку, а когда дискретную? В чем преимущества и недостатки той или иной постановки? Ответы на эти вопросы можно дать на примере задач оптимального отраслевого планирования в промышленности.

В задачах с дискретными переменными на основе предварительного анализа для каждого из предприятий отрасли формируется некоторое число фиксированных вариантов развития и размещения, одновременно вводимых в задачу. Экономические показатели рассчитываются только для этих вариантов. При этом принимается условие, что любой из них либо целиком входит в план, либо целиком отвергается. Таким образом, задача в данном случае состоит в том, чтобы на основе заданного множества вариантов найти такой план, в котором из различных возможных комбинаций вариантов действующих и новых предприятий реализуется та, которая обеспечивает производство всех видов продукции в соответствии с заданной потребностью и с наименьшей суммой приведенных затрат (при постановке на минимум затрат), а ресурсы используются в пределах установленных для отрасли лимитов. Поэтому вполне правильно в экономико-математической литературе задачи с непрерывными переменными получили название задач в безвариантной постановке, а задачи с дискретными переменными — задач в.вариантной постановке.

Несколько отличные от алгоритма Корнай—Липтака декомпозиционные алгоритмы были изложены А. Г. Аганбегяном, К. А. Багриновским, А. Г. Гранбергом [7]; Т. Н. (Первозван-ской и А. А. Первозванским [90] и другими авторами. Характерной чертой всех алгоритмов является то, что в основе согласования решения основной модели с решениями подмоделей лежат двойственные оценки. Однако все свойства этих оценок имеют силу только для моделей линейного и выпуклого программирования. Попытки определять и использовать двойственные оценки в задачах с дискретными переменными не привели в настоящее время к значительным успехам.

3. Они могут быть дискретными переменными или определяться как ярого очерченные классы или комбинации.

• Переменные, способные принимать некоторое ограниченное число значений (т.е. определенные на дискретных множествах), называются дискретными переменными. Наоборот, если переменная определена на непрерывном множестве и может принять любое в его границах значение — она называется непрерывной. Соответственно, в процессе решения задачи используются следующие изменения природы переменной величины: рассмотрение переменной в качестве постоянной (константы), рассмотрение дискретной переменной как непрерывной, рассмотрение непрерывной переменной как дискретной. В зависимости от условий задачи подобные преобразования могут облегчать ее решение.

Для записи модели с дискретными переменными и нелинейной зависимостью удельных производственных затрат от мощности дополнительно к ранее использованным введем следующие обозначения:

Метод «коэффициентов интенсивности» основан на замене однократного решения нелинейной задачи развития и размещения с дискретными переменными многократным решением серии обычных линейных транспортных задач с непрерывными переменными. Переход от одной транспортной задачи к другой осуществляется взаимосвязанным изменением мощности и соответствующих ей удельных производственных затрат для какого-либо одного пункта производства.

9. Сформулируйте однопродуктовую задачу развития и размещения производства с дискретными переменными.

Важность и полезность дискретной масштабной инвариантности-----------------------.______ 209

Сценарии, ведущие к дискретной масштабной инвариантности и логопериодичности_________211

Ответ прост: иерархические сети, такие как, например, ромбовидная решетка, изображенная на Рис. 62, или древовидная решетка, изображенная на Рис. 66, обладают свойством фундаментальной симметрии, называемой дискретной Масштабной инвариантностью. Симметрия - это свойство геометрической фигуры или системы, позволяющее данной фигуре или системе оставаться инвариантными при некоторых специфических видах преобразований, осуществляемых над объектом, например, таких как перенос, вращение, инверсия и расширение.

иерархических сетей. Считается, что такие системы, подобные себе только при умножении на произвольную степень множителя, являющуюся целым числом, 41 или 2", или, на любой другой неизменный множитель 2", где п=.. .-3, -2, -1, 0,1,2, 3 ... - целое число, обладают дискретной масштабной инвариантностью [392]. Масштабная дискретная инвариантность представляет собой более слабую симметрию, чем общая масштабная инвариантность: она ограничена дискретным выбором множителей (в данном случае целыми степенями 4 или 2).

Сейчас мы в состоянии интуитивно понять описание дискретной масштабной инвариантности, представленное ранее в данной главе. Как мы отмечали прежде, дискретная масштабная инвариантность есть не что иное, как более слабый вид масштабной инвариантности, согласно которому система или измеряемая величина подчиняются масштабной инвариантности, как определено выше, только для специфических выборов коэффициентов увеличения или

Очевидно, что две иерархические сети на Рис. 62 и Рис. 66 подчиняются дискретной масштабной инвариантности, но не (непрерывной) масштабной инвариантности. Действительно, по своей конструкции ромбовидная решетка точно восстанавливается только при наличии дискретного ряда коэффициентов, определяющих последовательные увеличения, которые заменяют каждую связь четырьмя новыми связями, каждую из четырех связей четырьмя новыми связями и так далее. В том же роде, дихотомическое дерево является инвариантным только при дискретном множестве увеличений, когда каждая ветвь удваивается в дискретной иерархии. Действительно, все обычные фрактальные конструкции наделены симметрией дискретной масштабной инвариантности. Знаменитыми примерами являются канторово (Cantor) множество, треугольник Серпинского (Sierpinsky), снежинка Коха (Koch), а также многие другие примеры[284].

Мы увидели, что отличительным признаком масштабной инвариантности является существование степенной зависимости, отражающей факт отсутствия предпочтительных шкал. Показатели степени в этих степенных зависимостях определяют фрактальные размерности. Признаком дискретной масштабной инвариантности становится существование логопериодических осцилляции, усложняющих степенные зависимости. Как мы увидим, эти логопериодические структуры могут быть представлены математически, при помощи того факта, что показатель степени а или, что одно и то же, размерность d, является не только нецелочисленным, но и становится комплексным числом.

Мы проиллюстрируем это удивительное явление на Рис. 80 и Рис. 81, показывающих измерение фрактальной размерности в присутствии дискретной масштабной инвариантности фрактальных объектов. Точнее, мы рассмотрим так называемые канторовы множества, которые являются одними из самых простых геометрических объектов, имеющих фрактальные свойства. Рис. 82 показывает первые пять итераций алгоритма построения так называемого троичного канторова множества. На нулевом уровне конструкция канторова множества начинается с единичного интервала, то есть со всех точек на прямой между 0 и 1. Этот единичный интервал изображается закрашенным черным цветом отрезком на вершине фигуры. Первый уровень получается из нулевого уровня путем удаления всех точек, лежащих в центральной трети отрезка, то есть всех точек между 1/3 и 2/3. Второй уровень получается из первого уровня путем удаления центральной трети каждого оставшегося интервала на первом уровне, то есть всех точек от 1/9 до 2/9 и от 7/9 до 8/9. В общем, алгоритм построения канторова множества может быть описан следующим образом: следующий уровень получается из предыдущего уровня путем удаления центральной трети всех интервалов, полученных из предыдущего уровня. Данный алгоритм может быть закодирован при помощи следующего символического правила: 1—»101 и 0—»000. Этот процесс продолжается до бесконечности, а результатом его является множество точек, которые тонко "процежены" из единичного интервала. Наи-ном уровне множество состоит из N„=2" сегментов, каждый из которых имеет длину 1п=1/3", так что общая длина (то есть, измеренная в математическом

Очевидно, что по структуре троичное канторово множество геометрически идентично самому себе только при увеличении с коэффициентом 1р=У, являющимся произвольными целочисленными степенями 3. Если вы возьмете другой коэффициент увеличения, например, 1.5, то вы не сможете наложить увеличенную часть на изначальное канторово множество. Таким образом, мы должны заключить, что троичное множество Кантора не обладает свойством непрерывной масштабной инвариантности, но обладает только дискретной масштабной инвариантностью при основном коэффициенте масштабирования 3. Это свойство проявляется логопфиодическими сю1щшшциями.

Итак, мы показали, что признаком дискретной масштабной инвариантности является присутствие степенной зависимости с комплексным показателем степени, который проявляет себя в наборе данных логопериодическими осцилляциями, корректируя простое степенное масштабирование. В дополнение к существованию единственного предпочтительного коэффициента масштабирования и связанной с ним логопериодичности, обсуждавшейся до сих пор, могут существовать несколько предпочтительных коэффициентов, соответствующих нескольким наложенным ' друг на друга (принцип суперпозиции) логопериодичностям. Это может привести к более разнообразному поведению, такому как лог-квазипериодичность [400].

В качестве последней иллюстрации приведем функцию Вейерштрасса, показанную на Рис. 74, и обладающую действительным значением фрактальной размерности, равным 1,5. Поскольку она проявляет сильную дискретную масштабную инвариантность с предпочтительным масштабным коэффициентом (для последовательных остроконечных структур), равным 2, то она наделена бесконечным числом комплексных фрактальных размерностей, заданных выражением l,5+i2jm/ln2=l,5+i9,06n, где и принимает любое возможное целочисленное значение. По мере того, как целое и растет до все больших и больших значений, соответствующие комплексные размерности описывают все меньшие и меньшие паттерны с дискретной масштабной инвариантностью.

Навигация

Главная

Новое

Акционер Америка Агрессивность