Геометрическую интерпретацию

Необходимо сделать небольшое замечание по геометрическому оптимальному портфелю. Дисперсия в портфеле в общем случае имеет положительную корреляцию с наихудшим проигрышем. Более высокая дисперсия обычно соответствует портфелю с более высоким возможным проигрышем. Так как геометрический оптимальный портфель является портфелем, для которого Е и V равны (при E=AHPR- 1), мы можем допустить, что геометрический оптимальный портфель будет иметь высокие проигрыши. Фактически, чем больше GHPR геометрического оптимального портфеля (т.е. чем больше зарабатывает портфель), тем больше может быть его текущий проигрыш (откат по балансу счета), так как GHPR положительно коррелирован с AHPR. Здесь мы видим некий парадокс. С одной стороны нам следует использовать геометрический оптимальный портфель, с другой — чем выше среднее геометрическое портфеля, тем большими будут откаты по балансу счета в процентном выражении. Мы знаем также, что при диверсификации следует выбирать портфель с наивысшим средним геометрическим, а не с минимальным проигрышем, но эти величины стремятся в противоположных направлениях! Геометрический оптимальный портфель — это портфель, который расположен в точке, где линия, прочерченная из (0, 0) с наклоном 1, пересекает эффективную границу AHPR.

Пусть нашей целью будет AHPR при значении V, которое соответствует геометрическому оптимальному портфелю. В знаменателе (2.09а) мы используем среднее геометрическое геометрического оптимального портфеля. Теперь мы можем определить, сколько сделок необходимо для того, чтобы привести наш геометрический оптимальный портфель к одной сделке арифметического портфеля:

N в уравнениях с (7.10а) по (7. Юг) представляет собой количество сделок, которое необходимо для того, чтобы геометрическое HPR стало равно арифметическому. Все три уравнения эквивалентны. Решение можно получить методом итераций. Зная для нашего геометрического оптимального портфеля GHPR= 1,01542 и соответствующее AHPR= 1,031 и решая любое уравнение с (7.10а) по (7. Юг), мы находим, что N = 83,49894. Таким образом, после того, как пройдет 83,49894 сделки, геометрическое TWR догонит арифметическое. Полученный результат справедлив для тех TWR, которые соответствуют координате дисперсии геометрического оптимального портфеля.Так же, как и AHPR, GHPR имеет свою линию CML. Рисунок 7-5 показывает как AHPR, так и GHPR с линиями CML, рассчитанными на основе безрисковой ставки.

Только когда разность GHPR геометрического оптимального портфеля и единицы равна безрисковой ставке, геометрический оптимальный портфель и касательный портфель будут одинаковыми. Если RFR > GHPROPT - 1, тогда геометрический оптимальный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую дисперсию, чем касательный портфель). Если RFR < GHPROPT - 1, тогда касательный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую дисперсию, чем геометрический оптимальный портфель). Во всех случаях касательный портфель, конечно же, никогда не будет иметь более высокое GHPR, чем геометрический оптимальный портфель. Отметьте также, что точки касания CML к GHPR и CML к AHPR имеют одну координату SD. Мы можем использовать уравнение (7. Ola) для поиска касательного портфеля GHPR, заменив в (7. Ola) AHPR на GHPR. В результате получится следующее уравнение:

Отметьте, что значение на пересечении столбца ответов и второй строки, т.е. ограничение суммы весов, равно количеству рыночных систем (не включая NIC), умноженному на 3. С помощью элементарных преобразований, описанных в главе 6, получим единичную матрицу. Теперь вы можете определить эффективную границу AHPR и эффективную границу GHPR для портфеля с неограниченными весами. Эффективная граница AHPR для портфеля с неограниченными весами соответствует использованию рычага (заемного капитала) без реинвестирования. Эффективная граница GHPR соответствует использованию рычага и реинвестированию прибылей. Наша цель — найти оптимальный неограниченный геометрический портфель, который в результате даст наибольший геометрический рост. Можно использовать уравнения с (7.Оба) по (7.06г) для нахождения на эффективной границе геометрического оптимального портфеля. В нашем случае, независимо от того, какое значение мы пытаемся найти для Е (значение на пересечение столбца ответов и первой строки), мы получаем один и тот же портфель, состоящий только из сберегательного счета, поднятого рычагом для достижения желаемого значения Е. В этом случае мы получаем самое низкое V (т. е. 0) для любого Е.

Возникает резонный вопрос: «Каким образом сумма весов компонентов может быть больше 100%?» Мы ответим на этот вопрос, но несколько позже. Если NIC не является одним из компонентов геометрического оптимального портфеля, то следует поднять ограничение суммы весов S до уровня, когда NIC станет одним из компонентов геометрического оптимального портфеля. Вспомните, что если в портфеле есть только два компонента, причем коэффициент корреляции между ними равен -1 и оба компонента имеют положительное математическое ожидание, тогда от вас потребуется финансирование бесконечного числа контрактов, поскольку такой портфель никогда не будет проигрывать. Следует также отметить, что чем ниже коэффициенты корреляции между компонентами в портфеле, тем выше процент, требуемый для инвестирования в эти компоненты. Разность между инвестированными процентными долями и ограничением суммы весов S должна быть заполнена NIC. Если NIC отсутствует среди компонентов геометрического оптимального портфеля, значит портфель работает при ограниченном S и поэтому не может считаться неограниченным геометрическим оптимальным портфелем. Так как вы не будете в действительности инвестировать в NIC, то не имеет значения, каков его вес, пока он является частью геометрического оптимального портфеля.

Вернемся к вопросу о том, каким образом возможно инвестировать больше 100% в определенный компонент. Одно из основных утверждений этой книги состоит в том, что вес и количество не одно и то же. Вес, который вы получаете при нахождении геометрического оптимального портфеля, должен быть отражен в оптимальных f компонентов портфеля. Для этого следует разделить оптимальное f каждого компонента на его соответствующий вес. Допустим, у нас есть следующие оптимальные f (в долларах): Toxico $2500

Таким образом, мы можем утверждать, что эффективные границы портфелей с неограниченной суммой весов содержат одинаковые портфели с разным уровнем заемных средств (с разным плечом). Портфель, в котором меняется величина плеча для получения заданного уровня прибыли Е, когда снято ограничение суммы весов, будет иметь второй множитель Лагранжа, равный нулю, при сумме весов, равной 1. Теперь мы можем достаточно просто определить, каким будет наш неограниченный геометрический оптимальный портфель. Сначала найдем портфель, который имеет нулевое значение для второго множителя Лагранжа, когда сумма весов ограничена 1,00. Одним из способов поиска такого портфеля является процесс итераций. Получившийся в результате портфель поднимается (или опускается) рычагом в зависимости от выбранного Е для неограниченного портфеля. Значение Е, удовлетворяющее любому уравнению с (7.Оба) по (7.06г), и будет тем значением, которое соответствует неограниченному геометрическому оптимальному портфелю. Для выбора геометрического оптимального портфеля на эффективной границе AHPR для портфелей с неограниченными весами, можно использовать первый множитель Лагранжа, который определяет положение портфеля на эффективной границе. Вспомните (см. главу 6), что одним из побочных продуктов при определении состава портфеля методом элементарных построчных преобразований является первый множитель Лагранжа. Он выражает мгновенную скорость изменения дисперсии по отношению к ожидаемой прибыли (с обратным знаком). Первый множитель Лагранжа, равный - 2, означает, что в этой точке дисперсия изменяется по отношению к ожидаемой прибыли со скоростью 2. В результате, мы получим портфель, который геометрически оптимален. (7.06д) L1 = - 2,

Этот портфель имеет AHPR = 1,128, дисперсию 0,066683 и отношение Шарпа 0,49568. Отметьте, что отношение Шарпа касательного портфеля, для которого сумма весов ограничена 1,00, при отсутствии NIC, в точности равно отношению Шарпа для нашего неограниченного геометрического оптимального портфеля. Вычитая единицу из полученных AHPR, мы получаем арифметическую среднюю прибыль портфеля. Далее заметим: чтобы для ограниченного касательного портфеля получить прибыль, равную прибыли неограниченного геометрического оптимального портфеля, мы должны умножить веса первого на 1,9195.

Множитель 1,9195 получен в результате деления прибыли неограниченного геометрического оптимального портфеля на прибьыь ограниченного касательного портфеля. Как правило, нам надо найти неограниченный геометрический оптимальный портфель, зная только ограниченный касательный портфель. Именно здесь и используется оптимальное q. Если мы допускаем, что RFR= 0, то можно определить оптимальное q по нашему ограниченному касательному портфелю следующим образом:

Мы рассмотрели несколько способов определения геометрического оптимального портфеля. Например, мы можем рассчитать его эмпирически, что было продемонстрировано в книге «Формулы управления портфелем» и повторено в первой главе этой книги. В данной главе мы узнали, как с помощью параметрического метода рассчитать портфель при любом значении безрисковой ставки.

Представленный формулой (8.11) аналитический метод определения рациональных границ для данного простейшего случая имеет наглядную! геометрическую интерпретацию (рис. 22). Приняв спрямленную ось трассы трубопровода за ось абсцисс и отложив от этой оси в точках выхода подъездных дорог на трассу ординаты, равные транспортным расходам по доставке секций от трубосварочных баз (b,,sf, и bi,+\s/l+i), можно получить начальные точки построения / и 2. Если от этих точек провести наклонные линии под углом у„ тангенс которого равен абсолютной величине себестоимости перевозки секций вдоль трассы s,- (см. рис. 20), то расстояния от этих наклонных линий до оси абсцисс (по вертикали) будут равны в выбранном масштабе транспортным расходам по доставке секций от трубосварочных баз до трассы (viecTa потолочной сварки). Следовательно, в результате данного построения фактически образуется эпюра транспортных расходов. Наклонные линии являются огибающей этой эпюры. Проекция точки пересечения этих наклонных линий /С на ось абсцисс будет рациональной границей перевозки секции па этом участке Ktl.

Для производственной функции (2.20) эластичность замещения ресурсов имеет особенно простую геометрическую интерпретацию: поскольку изоклинали этой функции — прямые линии, то-отношение xjxi характеризуется тангенсом угла \ наклона изоклинали (см. рис. 2.5). Поэтому величина о показывает, на сколько процентов необходимо повернуть изоклиналь (т. е. изменить tg?), чтобы tgty изменился на 1%.

На рис. 6.2 множество эффективных решений Рх и множество эффективных значений критериев Pt выделены жирной линией. Обратим внимание на то, что эффективное множество в пространстве критериев имеет простую геометрическую интерпретацию. Если в некоторой точке /' =F(x"), где х' е= Gx, построить конус K' = {feEr: / = /' + *, где t и; 0},

Если существуют различные варианты решений, приводящие к выполнению этих ограничений, выбор решения не уточняется. В пространстве показателен такое описание поведения имеет следующую геометрическую интерпретацию (рис. 7.8, в). Проведены границы множества достижимых значений показателей Л и Д при /3 = Л**, /з = Я* и /3 = й', где Д**<Л'<Я*. Значения третьего показателя R** и R* являются граничными, так как при R>R* значение У3 становится неудовлетворительным, а при R < Л** не существуют достижимые значения Л и Л, удовлетворяющие условиям удовлетворительности. При J3 = R** существует единственная удовлетворительная точка А, при J3 = = R* удовлетворительные значения /, п J-, составляют целый криволинейный треугольник ABC, а при J3=?R'— некоторый промежуточный треугольник АВ'С'. При этом не уточняется, какое из значений /3 е [и**, R*] и какое сочетание 7t п /2 нз соответствующего множества удовлетворительных значений показателей будет выбрано. Конечно, такой подход значительно усложняет анализ моделей систем стимулирования, однако он представляется более обоснованным, чем использование представления об оптимизации некоторого критерия.

В главах 3,4 рассмотрены классические линейные регрессионные модели: в главе 3 — парные регрессионные модели, на примере которых наиболее доступно и наглядно удается проследить базовые понятия регрессионного анализа, выяснить основные предпосылки классической модели, дать оценку ее параметров и геометрическую интерпретацию; в главе 4 — обобщение

Рассмотрим геометрическую интерпретацию регрессии. Предположим, что мы имеем и=3 наблюдения: уь у2, уз — зависимой переменной У и х\, х2,х^' — объясняющей переменной X. Рассматривая трехмерное пространство с осями координат 1, 2, 3, можно построить векторы Y=(y\, у2, уз), Х=(х\, х2, х$), а также вектор S^O;!;!) (рис. 3.7). Тогда значения у\,у2,у3, получаемые по уравнению регрессии у = Ь0 + Ь\х, можно рассматривать как

1 Напомним, что в § 3.7 мы рассматривали геометрическую интерпретацию регрессии и, в частности, проекцию вектора К на пространство регрессоров.

Предлагаемый метод определения рациональных границ для данного простейшего случая имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 3).

Теперь дадим геометрическую интерпретацию задачи потребительского выбора.

В соответствии со следствием 2.1, бинарные отношения, удовлетворяющие аксиомам 2-4 (напоминаем, что эти аксиомы предполагаются выполненными), допускают простую геометрическую Интерпретацию — они являются конусными отношениями с острыми, выпуклыми конусами без начала координат, причем эти Конусы разве что шире неотрицательного ортанта R™.

Уровень потребления можно выразить целевой функцией потребления U = U (У), где вектор переменных Y s 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Свойства этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнения U (Y) — С, где С — параметр уровня целевой функции потребления (в качестве С может выступать, например, доход).

Навигация

Главная

Новое

Акционер Америка Агрессивность