Масштабной инвариантности

Под стратегией изменения будем понимать тот или иной подход, выбранный в зависимости от обстоятельств, который учитывает факторы, описанные выше. Не существует какой-либо одной, универсально оптимальной стратегии изменения, хотя мы часто слышим об успехах российских менеджеров, работающих как в сфере бизнеса, так и в сфере государственного управления (особенно высшего), быстро осуществляющих масштабные изменения (например, приватизацию) без учета мнения, знаний и опыта и даже работы людей, которых затрагивают такие изменения. Данный подход может быть полезным в течение очень короткого времени, и пролонгация его на более длительный срок часто приводит к несопоставимо большим издержкам, чем к позитивным изменениям, способствующим повышению эффективности организационных процессов. При использовании стратегии изменения необходимо помнить, что у менеджера есть выбор. Одним из наиболее важных параметров при осуществлении изменения

Под стратегией изменения будем понимать тот или иной подход, выбранный в зависимости от обстоятельств, который учитывает факторы, описанные выше. Не существует какой-либо одной, универсально оптимальной стратегии изменения, хотя мы часто слышим об успехах российских менеджеров, работающих как в сфере бизнеса, так и в сфере государственного управления (особенно высшего), быстро осуществляющих масштабные изменения (например, приватизацию) без учета мнения, знаний и опыта и даже работы людей, которых затрагивают такие изменения. Данный подход может быть полезным в течение очень короткого времени, и пролонгация его на более длительный срок часто приводит к несопоставимо большим издержкам, чем к позитивным изменениям, способствующим повышению эффективности организационных процессов. При использовании стратегии изменения необходимо помнить, что у менеджера есть выбор. Одним из наиболее важных параметров при осуществлении изменения

Хотя подобные масштабные изменения природы данных проявляются только в случае очень долгосрочных циклов, следовало бы подчеркнуть, что структурные изменения в природе данных не связаны напрямую с длительными временными промежутками. Например, циклы цен на соевые бобы значительно изменились за последние 20 лет вследствие климатических и политических изменений. В 1970-х годах действия Эль-Ниньоса привели к массовой гибели рыбы, вызвав резкое сокращение поставок анчоусовых и резко взвинтив спрос на соевые бобы как заменитель белка. Однажды возникнув, такой сдвиг стал постоянным.

торговую систему, в режиме TSV). Оценки распределения рынков являются только прогнозными, учитывая масштабные изменения в

государств, проводящих реформы, внесло масштабные изменения в финансовую

ли масштабные изменения, «финансовая модернизация», означающая разруше-

-укрупнение бирж и рынков, масштабные изменения структуры рынков в

пределения рынков являются только прогнозными, учитывая масштабные изменения в

в США произошли масштабные изменения — «финансовая модер-

• укрупнение бирж и рынков, масштабные изменения структуры

распределения рынков являются только прогнозными, учитывая масштабные изменения в динамике отдкльных рынков, которые

Важность и полезность дискретной масштабной инвариантности-----------------------.______ 209

Сценарии, ведущие к дискретной масштабной инвариантности и логопериодичности_________211

Ромбовидная и древовидная решетки на Рис. 62 и Рис. 66 также обладают симметрией, называемой "масштабной инвариантностью": в пределе, обе геометрические конструкции экстраполируются на бесконечное число повторений, заменяя ромб одним ребром и наоборот, при этом не меняется ромбовидная структура. Точно так же замена ребра в древовидном графе, двумя ребрами более мелкого порядка не меняет всей древовидной структуры на Рис. 66. Другими словами, иерархические ромбовидные и древовидные сети могут в точности воспроизводить себя на различных масштабах или шкалах. Мандельброт (Mandelbrot) [284] ввел в науку, для обозначения таких свойств, термин "фрактал". Основываясь на пионерской работе Ричардсона (Richardson) [343] он обнаружил, что многие природные и общественные явления наделены, по крайней мере, приблизительно, симметрией масштабной инвариантности. Многие из нас сталкивались с фракталами, рассматривая прекрасные, искусные и сложные картины, создаваемые компьютером. В современных голливудских фильмах используются ландшафты, горные цепи, системы облаков и другие, искусственно созданные при помощи компьютера, природные конструкции. Для производства этих фильмов используются численные рецепты, созданные для того, чтобы создавать фрактальные геометрические фигуры. Оказывается, что многие из природных структур мира приблизительно могут считаться фракталами [29,126, 88, 31,292,394] и наше эстетическое чувство откликается на фрактальные формы.

Во второй половине XIX века и первой четверти XX века математики представили себе геометрические фигуры, наделенные дробными размерностями, например, d=l,56 или d=2,5, и т.п. Выдающимся открытием явилось осознание того факта, что данное обобщение понятия "размерности " от целых до действительных чисел отражает концептуальный скачок в науке от трансляционной инвариантности к непрерывной масштабной инвариантности. Линия и плоскость остаются неизменными, если рассматривать их с разных точек, перемещаемых одна в другую. Это свойство называется трансляционной инвариантностью. Оказывается, что объекты с дробными размерностями обладают свойством масштабной инвариантности. Чтобы донести до людей эту новейшую концепцию, как уже отмечалось, Мандельброт создал слово "фрактал" от латинского корня fractus, обозначающего неровность, изломанность и беспорядочность объектов, представимых х, хотя бы приблизительно, масштабно инвариантными. Эта неровность может присутствовать на всех масштабах, что отличает фракталы от форм Евклида. Мандельброт активно работал, чтобы доказать, что данная концепция - не просто математический курьез, но что она ценна для реального мира. Выдающимся фактом является то, что обобщение от целочисленных до дробных размерностей, имеет глубокое и интуитивное толкование: нецелочисленные размерности описывают иррегулярные комплексы, состоящие из частей, похожих на целое.

Концепция (непрерывной) масштабной инвариантности означает воспроизведение чего-либо самим себя на разных временных и пространственных масштабах. Точнее, измеряемая величина ^, зависящая от "управляющего" параметра х, является инвариантной к масштабу при произвольном изменении х — >Лдг, если существует число //(Я), при котором

масштабной инвариантности, так как коэффициент ^ V х ' = Я" не зависит от

Выражение (8) описывает систему, находящуюся точно в критической точке, в которой инвариантность масштабной симметрии точна. Для конкретных применений нам хотелось бы обладать более полным описанием свойств системы в условиях близости критической точки, а не только непосредственно в критической точке. Очевидной причиной такого желания является то, что предвестники критической точки могут быть расшифрованы до того, как мы до нее дойдем. Вопрос состоит в том, чтобы определить, насколько выражение (8) остается верным, и насколько оно меняется в близости критической точки. Другими словами, какая часть точной симметрии масштабной инвариантности сохраняется при нахождении не точно в критической точке.

Сейчас мы в состоянии интуитивно понять описание дискретной масштабной инвариантности, представленное ранее в данной главе. Как мы отмечали прежде, дискретная масштабная инвариантность есть не что иное, как более слабый вид масштабной инвариантности, согласно которому система или измеряемая величина подчиняются масштабной инвариантности, как определено выше, только для специфических выборов коэффициентов увеличения или

Очевидно, что две иерархические сети на Рис. 62 и Рис. 66 подчиняются дискретной масштабной инвариантности, но не (непрерывной) масштабной инвариантности. Действительно, по своей конструкции ромбовидная решетка точно восстанавливается только при наличии дискретного ряда коэффициентов, определяющих последовательные увеличения, которые заменяют каждую связь четырьмя новыми связями, каждую из четырех связей четырьмя новыми связями и так далее. В том же роде, дихотомическое дерево является инвариантным только при дискретном множестве увеличений, когда каждая ветвь удваивается в дискретной иерархии. Действительно, все обычные фрактальные конструкции наделены симметрией дискретной масштабной инвариантности. Знаменитыми примерами являются канторово (Cantor) множество, треугольник Серпинского (Sierpinsky), снежинка Коха (Koch), а также многие другие примеры[284].

Мы увидели, что отличительным признаком масштабной инвариантности является существование степенной зависимости, отражающей факт отсутствия предпочтительных шкал. Показатели степени в этих степенных зависимостях определяют фрактальные размерности. Признаком дискретной масштабной инвариантности становится существование логопериодических осцилляции, усложняющих степенные зависимости. Как мы увидим, эти логопериодические структуры могут быть представлены математически, при помощи того факта, что показатель степени а или, что одно и то же, размерность d, является не только нецелочисленным, но и становится комплексным числом.

Мы проиллюстрируем это удивительное явление на Рис. 80 и Рис. 81, показывающих измерение фрактальной размерности в присутствии дискретной масштабной инвариантности фрактальных объектов. Точнее, мы рассмотрим так называемые канторовы множества, которые являются одними из самых простых геометрических объектов, имеющих фрактальные свойства. Рис. 82 показывает первые пять итераций алгоритма построения так называемого троичного канторова множества. На нулевом уровне конструкция канторова множества начинается с единичного интервала, то есть со всех точек на прямой между 0 и 1. Этот единичный интервал изображается закрашенным черным цветом отрезком на вершине фигуры. Первый уровень получается из нулевого уровня путем удаления всех точек, лежащих в центральной трети отрезка, то есть всех точек между 1/3 и 2/3. Второй уровень получается из первого уровня путем удаления центральной трети каждого оставшегося интервала на первом уровне, то есть всех точек от 1/9 до 2/9 и от 7/9 до 8/9. В общем, алгоритм построения канторова множества может быть описан следующим образом: следующий уровень получается из предыдущего уровня путем удаления центральной трети всех интервалов, полученных из предыдущего уровня. Данный алгоритм может быть закодирован при помощи следующего символического правила: 1—»101 и 0—»000. Этот процесс продолжается до бесконечности, а результатом его является множество точек, которые тонко "процежены" из единичного интервала. Наи-ном уровне множество состоит из N„=2" сегментов, каждый из которых имеет длину 1п=1/3", так что общая длина (то есть, измеренная в математическом

Навигация

Главная

Новое

Акционер Америка Агрессивность