|
Множества недоминируемых
После того как были определены структура и местоположение эффективного множества Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора. Портфель, обозначенный как О* на рис. 8.2, соответствует точке касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством. Процедура определения состава оптимального портфеля начинается с графического определения инвестором уровня его ожидаемой доходности. То есть из графика инвестор может определить, где располагается О*, а затем с помощью линейки отметить его ожидаемую доходность. Для этого следует провести из точки О линию, перпендикулярную вертикальной оси (с помощью компьютера это можно сделать значительно более точно).
С появлением на рынке безрискового актива инвестор получил возможность вкладывать часть своих денег в этот актив, а остаток — в любой из рискованных портфелей, содержащихся во множестве достижимости Марковица. Появление новых возможностей существенно расширяет множество достижимости и, что важнее, изменяет расположение значительной части эффективного множества Марковица. Суть этих изменений должна быть проанализирована, так как инвесторы заинтересованы в выборе порт-
3. С учетом безрискового кредитования эффективное множество на графике приобретает вид прямого отрезка, исходящего из точки, соответствующей безрисковой станке, к точке касания с эффективным множеством Марковица, а также к части эффективного множества Марковица, лежащей выше и правее точки касания.
Это множество состоит из трех различных, но соединенных между собой частей. Первой частью является прямой отрезок, соединяющий /•„ и TL, который представляет собой комбинации различных объемов безрискового кредитования в сочетании с инвестированием в портфель рискованных активов TL. Второй частью является участок кривой из эффективного множества Марковица, соединяющий точки TL и Тй. Третьей частью является прямой луч, выходящий из точки Тв, который представляет различные комбинации заимствования в сочетании с инвестированием в рискованный портфель Tf
При обобщении модели Марковица с учетом безрисковых возможностей эффективное множество становится прямой линией, проходящей через точку, соответствующую портфелю Т. Этот портфель называется «касательным» портфелем, поскольку он соответствует точке, в которой прямая, исходящая из точки безрисковой ставки, касается эффективного множества Марковица.
Задача определения кривой эффективного множества Марковица может быть сильно упрощена с помощью введения процесса формирования дохода (return generating process). Процессом формирования дохода называется статистическая модель, которая описывает, как образуется доход по ценной бумаге. В гл. 8 был рассмотрен один из таких процессов, известный как рыночная модель. Согласно рыночной модели, доходность по ценной бумаге является функцией доходности по индексу рынка. Однако существует много других типов процессов формирования дохода по ценным бумагам.
построении факторной модели неявно предполагается, что доходности по двум ценным бумагам коррелированы (т.е. изменяются согласованно) только за счет общей реакции на один или более факторов, определенных в этой модели. Считается, что любой аспект доходности ценной бумаги, не объясненный факторной моделью, является уникальным или специфическим для данной ценной бумаги и, следовательно, не коррелирован с уникальными аспектами доходностей других ценных бумаг. В результате факторная модель является мощным средством управления портфелем инвестиций. Она может дать необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций для каждой ценной бумаги, что является необходимым условием для определения кривой эффективного множества Марковица. Она также может быть использована для характеристики чувствительности портфеля к изменениям факторов.
Поэтому абстракция является существенным шагом при определении кривой эффективного множества Марковица, и факторные модели дают необходимый уровень абстрактности. Они предлагают инвестиционным менеджерам метод, позволяющий выделить в экономике важные факторы и оценить, насколько различные ценные бумаги и портфели инвестиций чувствительны к изменениям этих факторов.
Необходимо также иметь ожидаемое значение фактора Ри его стандартное отклонение GF. Используя все эти оценки в уравнениях (11.3), (11.4) и (11.5), можно вычислить ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации ценных бумаг. С помощью этих параметров можно определить кривую эффективного множества Марковица. Наконец, отсюда может быть определен «касательный» портфель для заданной безрисковой ставки.
Как и в случае однофакторной модели, после того, как ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации рассчитаны с помощью приведенных выше уравнений, инвестор может перейти к использованию «оптимизатора» (optimizer) (особого вида математической процедуры) для получения кривой эффективного множества Марковица. Затем для данной безрисковой ставки может быть определен «касательный» портфель, после чего инвестор может выбрать свой оптимальный портфель.
В общем, в то время как в двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нужно оценить четыре параметра (а., Ьп, Ь.2 и aej), в двухсекторной факторной модели нужно оценить лишь три параметра (я(., ае. и либо Ьп, либо Ьа). Имея эти оценки вместе с оценками для FV F2, ал и ал, инвестор может применить уравнения (1 1.8) и (11.9) для расчета ожидаемых доходностей и дисперсий для каждой ценной бумаги. Парные ковариации могут быть оценены с помощью уравнения (11.10). Это даст инвестору возможность определить кривую эффективного множества Марковица, а затем «касательный» портфель для заданной безрисковой ставки.
1. Требования, предъявляемые к отношению предпочтения. 2. Множество недоминируемых решений. 3. Алгоритм построения множества недоминируемых решений.
') Напоминаем, что здесь отношение предпочтения >х предполагается ир-рефлексивным и транзитивным. При этом заметим, что на самом деле для введения множества недоминируемых решений достаточно требовать от отношения предпочтения лишь свойства асимметричности.
А Если предположить, что включение (1.2) для некоторого непустого множества Sel X не имеет места, то среди элементов этого множества найдется решение х" е Sel X, для которого выполнено соотношение х" g Ndom А7Тогда, по определению множества недоминируемых решений, существует такое решение х' е X, что х' >х х". Отсюда, используя аксиому 1, получаем х" g Sel X. Это противоречит начальному предположению о том, что х" — выбранное решение.V
Включение (1.2) устанавливает, что для достаточно широкого класса задач (а именно, для тех задач, для которых выполнена аксиома 1): выбор решений следует производить только среди недоминируемых решений. Кроме того, поскольку все последующие требования (аксиомы), предъявляемые к рассматриваемому здесь классу задач многокритериального выбора, как мы увидим далее, не содержат множества выбираемых решений (и выбираемых векторов), включение (1.2) показывает, что выбранным может оказаться любое подмножество множества недоминируемых решений.
найти его. Следует, однако, заметить, что подобного рода ситуации в практике встречаются крайне редко. Чаше всего, тех сведений, которые имеются об отношении предпочтения, оказывается недостаточно не только для нахождения множества выбираемых решений, но и для построения множества недоминируемых решений.
Для введенного множества недоминируемых векторов аксиому 1 и лемму 1.2 можно переформулировать следующим образом.
3. Алгоритм построения множества недоминируемых решений.
В предыдущем пункте была отмечена важная роль множества не доминируемых решений (и векторов) в теории принятия решений. Последующее изложение книги позволит еще не раз убедиться в справедливости этого высказывания. По этой причине следует иметь в распоряжении какой-нибудь метод или алгоритм построения множества недоминируемых решений (и векторов).
В общем случае вопрос построения множества недоминируемых решений и/или векторов представляется чрезвычайно сложным, однако для конечного множества возможных решений ^(множества возможных векторов Y) он решается достаточно просто.
иррефлексивным и транзитивным. Для построения множества недоминируемых решений Ndom ЛГ прежде всего следует перенумеровать все возможные решения. Пусть, например,
Первый шаг алгоритма нахождения множества недоминируемых решений заключается в последовательном сравнении первого решения х, со всеми остальными х2,..., хп. Это сравнение заключается в проверке справедливости соотношения X] >х х, и соотношения Xj ух х\ ПРИ каждом / = 2, ..., п.
Множества случайных Множественная корреляция Множественного регрессионного Множестве возможных Множество элементов Множество достижимости Множество модификаций Множество определений Множество потенциальных Множество противоречивых Максимумов минимумов Множество возможностей Мощностями строительно вывоз мусора снос зданий
|
|
|
|
Навигация
