|
Множество достижимости
3. Существует хотя бы два допустимых плана. В этом случае, как доказывается в теории линейного программирования, существует бесчисленное множество допустимых планов. Это означает, что все требования внешней среды, все плановые лимиты вышестоящих организаций могут быть выполнены, причем существует возможность рационального использования внутренних производственных ресурсов, например возможность выбора режимов эксплуатации отдельных установок. Именно в данном случае удается оптимизировать работу предприятия за счет выбора рациональных (с точки зрения всего предприятия) режимов эксплуатации отдельных установок, выбора рационального распределения входных и промежуточных материальных потоков.
Найдя множество допустимых решений задачи (1.5), определим допустимые пределы нарушения ограничений (1.2) и (1.4). Это можно определить в диалоге ЛПР (технолога-оператора процесса). Пусть di=1,0; d2=0,5; d3=1,0.
которых /.(Xi , . . . ,x5)S1 25,5; jF2(x1 ,x2, . . . ,х5)>1 80,5; /3(Х! ,х2, . . . ,х5)<29. В результате получим множество допустимых решений, Определим степень принадлежности элементов (х-., х2)
После формулировки списка переменных модели необходимо указать, какие значения переменных могут реализоваться, т. е. указать множество допустимых значений переменных. Множество допустимых значений наиболее часто представляется с помощью системы ограничений на значения переменных. Эти ограничения выделяют среди всевозможных значений переменных допустимые значения. Совокупность ограничений, наложенных на переменные, и является математической моделью изучаемой системы. Рассмотрим основные типы математических моделей, встречающихся в экономико-математических исследованиях.
Множество допустимых значений переменной х, которое обозначим через X, для модели (3.3) является многогранным. Можно сказать, что рассматриваемые линейные статические модели имеют общий вид
Среди нелинейных статических моделей, используемых в экономико-математическом моделировании, наиболее важную роль играют модели, для которых множество допустимых значений X является выпуклым множеством, точнее говоря, вместе с любыми двумя векторами х* ^ X и х** е X этому множеству принадлежит весь отрезок х =° ах* + (1 — а)х**, где а изменяется от нуля д.^1 до единицы. Как легко заметить,
Рассмотрим вопрос об условиях, достаточных для того, чтобы множество допустимых значений X, описываемое соотношениями (3.8), было выпуклым. Этот вопрос решается на основе введения понятия выпуклой функции. Функция g(x), где х е Еп,- называется выпуклой вниз (или просто выпуклой), если для любых значений х* и ж** и при любом числе ос, изменяющемся от нуля до единицы, выполнено неравенство
"•,' Обратим внимание на то, что множество допустимых значений модели с дискретными переменными не является выпуклым, поскольку переменные не могут принимать любые промежуточные значения. Этим определяется сложность исследования линейных целочисленных моделей и тем более нелинейных целочисленных моделей,которые также встречаются в исследованиях.
Обратим внимание на то, что здесь множество допустимых значений управлений может зависеть от времени. Ограничения, имеющие вид (3.13), хотя и встречаются в экономических моделях довольно часто, все же не являются наиболее распространенным типом: для экономических систем характерна зависимость возможностей управления от состояния системы. Например, чем выше уровень развития народного хозяйства, тем больше имеется возможностей воздействия на его дальнейшее развитие. Поэтому ограничения на управление обычно имеют вид
Иногда различные ограничения на управления и переменные состояния записывают в виде одного соотношения. Для этого рассматривают (п + г)-мерный вектор (x(t], u(t)}, составленный из векторов x(t) и u(t), и (п + г)-мерное множество допустимых векторов {x(t), u(?)}, которое обозначим через У(?). Соотношение имеет вид
Общий вид математической модели. Мы рассмотрели некоторые математические модели, наиболее часто встречающиеся в прикладных работах по математическому исследованию экономических процессов. Процесс их построения имеет следующие общие черты. Прежде всего устанавливается, какие переменные рассматриваются в модели: либо вещественные векторы, либо-целочисленные переменные, либо функции времени (в последнем случае уточняется, какими свойствами обладают эти функции). В результате оказывается описано, как принято говорить, пространство переменных модели. После описания пространства переменных формулируются связи, накладываемые па переменные модели. Эти связи позволяют выделить среди всевозможных сочетаний переменных те, которые соответствуют нашим представлениям об изучаемой системе. В процессе построения математической модели постепенно формулируются соотношения между переменными, делающие множество допустимых сочетаний переменных все уже и уже. Если соотношения модели не определяют единственного сочетания переменных, остается некоторая свобода 'выбора. Модель в общем виде можно представить как
Заметим, что поставленная здесь задача не всегда имеет решение. Можно выбрать настолько большое значение kT, что такая фондовооруженность окажется недостижимой для системы, описываемой моделью (4.10) — (4.12) за период времени [О, Т]. Это показывает важность предварительного анализа модели (4.10) — (4.12) с помощью метода, опирающегося на построение множеств достижимости, о которых мы уже говорили в первой главе. Рассмотрев множество достижимости для системы (4.10) — (4.12) за период [О, Т], т. е. множество всех достижимых за период [О, Т] значений k (Т), можно выбрать разумную величину kr, после чего сформулированная здесь задача оптимизации будет иметь решение. Оказывается, что при достаточно больших значениях горизонта планирования Т
Поставленная здесь задача не всегда имеет решение. Можно выбрать настолько большое значение kTj что такая фондовооруженность окажется недостижимой для системы, описываемой моделью (3.10) — (3.12) за период времени [О, Т]. Это показывает важность предварительного анализа модели (3.10) — (3.12). Рассмотрим множество достижимости для системы (3.10) — (3.12) за период [О, Т], т. е. множество всех достижимых за период [О, Т] значений k(T) и с(Т). Анализируя ото множество так, как это было описано в § 7 гл. 2, можно выбрать наиболее подходящее достижимое сочетание величин k(T) и с(Т). Если в качестве kT взять выбранную величину k(T), то сформулированная здесь задача оптимизации будет иметь решение. Оказывается, что при достаточно больших значениях горизонта планирования Т оптимальное управление s(t) состоит в следующем: сначала необходимо выбрать такое значение s(t), чтобы как можно быстрее выйти в точку /с*, определяемую из соотношения (3.14); затем в течение почти всего периода времени величина s(t) должна быть равна я; в конце периода необходимо за минимальное время перевести систему из точки k* в kT. Таким образом, мы опять пришли к сбалансированному росту в модели (3.1) — (3.6) с максимальным потреблением на одного трудящегося, причем сам факт
Обобщенная транспортная задача 57 Обобщенное множество достижимости
Записи 1 в У-М столбце матрицы М соответствуют информационным элементам dt , которые необходимы для получения значений элементов d. и образуют множество элементов предшествования A ( d.) для этого элемента. Записи 1 в /-и строке матрицы М соответствуют всем элементам d '., достижимым из рассматриваемого элемента d. и образующим множество достижимости R ( d.) этого элемента. Информационные элементы, строки которых в матрице М не содержат единиц (нулевые строки), являются выходными информационными элементами, а информационные элементы, соответствующие нулевым столбцам матрицы М, являются входными. Это условие может служить проверкой правильности заполнения матриц В и М, если наборы входных и выходных информационных элементов известны. Информационные элементы, не имеющие нулевой строки или столбца, являются промежуточными.
находиться на какой-то конкретной кривой не может быть реализовано, если данная кривая нигде не пересекает множество достижимости. Что касается кривой /,, то существует несколько портфелей, которые может выбрать инвестор (например, О). Однако рисунок показывает, что портфель О*является наилучшим из этих портфелей, так как он находится на кривой безразличия, расположенной выше и левее. Рисунок 8.3 показывает, что инвестор с высокой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке Е. Рисунок 8.4 показывает, что инвестор с низкой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке У.
С появлением на рынке безрискового актива инвестор получил возможность вкладывать часть своих денег в этот актив, а остаток — в любой из рискованных портфелей, содержащихся во множестве достижимости Марковица. Появление новых возможностей существенно расширяет множество достижимости и, что важнее, изменяет расположение значительной части эффективного множества Марковица. Суть этих изменений должна быть проанализирована, так как инвесторы заинтересованы в выборе порт-
Как уже говорилось, множество достижимости существенно изменяется в результате рассмотрения безрискового кредитования. На рис. 9.3 показано, как меняется множество достижимости для рассматриваемого примера. Теперь в сочетании с безрисковым активом рассматриваются всевозможные комбинации не только акций Able и РАС, но и всех остальных рискованных активов и портфелей. В частности, обратите внимание на то, что две границы являются прямыми линиями, выходящими из точки, соответствующей безрисковому активу. Нижняя линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и акциям Baker. Поэтому она представляет портфели, являющиеся комбинациями акций компании Baker и безрискового актива.
Рисунок 9.7 изображает, как изменяется допустимое множество, если введена возможность как предоставления, так и получения займа по одной и той же безрисковой процентной ставке. Рассматриваются не только акции РАС и Able, но и все остальные рискованные активы и портфели. Множество достижимости представлено областью, расположенной между двумя лучами, выходящими из точки, соответствующей безрисковой ставке, и проходящими через точки, соответствующие акциям Baker и портфелю, обозначенному через Т. Эти два луча уходят в бесконечность при условии, что нет ограничений на величину получаемого займа.
В этой главе предполагалось, что инвестор может получить взаймы средства по той же самой ставке, по которой он может их инвестировать в безрисковый актив. В результате множество достижимости приобрело вид области, ограниченной двумя лучами, исходящими из точки, соответствующей безрисковой ставке. Верхняя линия представляла эффективное множество и пересекалась только по одному портфелю с эффективным множеством модели Марковица. Этот портфель соответствовал точке касания данного луча с эффективным множеством модели Марковица. Теперь рассмотрим, что произойдет, если предположить, что инвестор может получить заем, но по ставке, превышающей доходность от инвестирования в безрисковый актив. Ставка по безрисковому активу обозначается rfi, где L означает предоставление займа, потому что, как уже говорилось, инвестирование по безрисковой ставке эквивалентно предоставлению займа правительству. Ставка, по которой инвестор может получить заем, обозначается rfg и удовлетворяет условию rfi > rfL.
" Предположим, что требование о внесении маржи при «коротких» продажах отсутствует; инвестор может получить от «коротких» продаж доход; безрисковые заимствования и кредитование невозможны. В такой ситуации множество достижимости будет ограничено гиперболой, открытой впра-.во. Далее, эффективное множество будет представлять собой верхнюю половину этой гиперболы. Введение безрискового заимствования и кредитования изменяет форму и расположение эффективного множества аналогично рис. 10.3. При этом рыночный портфель будет находиться на эффективном множестве между Г; и Тя. См.: Fischer Black, «Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing», Journal of Business, 45, no. 3 (July 1972), pp. 444-455.
Множество достижимости D={(xl,x2):f2(xl,x2)>L2} — это
Множество модификаций Множество определений Множество потенциальных Множество противоречивых Максимумов минимумов Множество возможностей Мощностями строительно Мощностей обеспечивающих Мощностей повышение Мощностей технологических Мобилизации дополнительных Модельного исследования Моделирования процессов вывоз мусора снос зданий
|
|
|
|
Навигация
