Стандартных отклонения

Стандартное отклонение вероятностного распределения возможных чистых текущих стоимостей труднее рассчитать для портфеля, нежели для единственного капиталовложения. Это не просто суммирование стандартных отклонений индивидуальных проектов, составляющих портфель, а величина, вычисляемая по формуле

Таблица 14Б.1 показывает пространство нормального распределения, т. е. А'стандартных отклонения влево и вправо от среднего. Проверка предусматривается по методу "один хвост", так как мы рассматриваем либо одну, либо другую область распределения. Участок под кривой, соответствующий вероятности того, что имело место 1,5 стандартных отклонений или более вправо от средней, на рис. 14.9 изображен заштрихованной площадью. По табл. 14Б.1 находим, что данному отклонению соответствует

ЧИСЛО СТАНДАРТНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ СРЕДНЕГО <*) ПЛОЩАДЬ ВЛЕВО ИЛИ ВПРАВО (ОДИН ХВОСТ) ЧИСЛО СТАНДАРТНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ СРЕДНЕГО (X) ПЛОЩАДЬ ВЛЕВО ИЛИ ВПРАВО (ОДИН ХВОСТ)

6,68% общей площади нормального распределения. Таким образом, мы могли бы сказать, что 6,68% составляет вероятность того, что реальный результат превысит среднее на 1,5 стандартных отклонений. Аналогично таблица может быть использована для определения вероятности, соответствующей другим отклонениям от среднего.

вправо от нулевой точки (т.е. 111,9 плюс 12,1 средняя). Наоборот, применительно к обыкновенным акциям 3 раза по 22 плюс средняя 9,1 равно 75,1 вправо от нулевой точки. Три стандартных отклонения от средней вбирают в себя преобладающую часть наблюдений. Так что, хотя наблюдения могут однозначно и не указывать на строго нормальную форму кривой, ее свойства в отношении стандартных отклонений и процентов охваченных событий могут быть чрезвычайно полезными для многих распределений.

Кредитных аналитиков часто интересует один край кривой распределений вероятностей: вероятность неудачи. Разумеется, такого повышения степени доверия можно добиться при определенном количестве стандартных отклонений от средней.

В табл. 9.3 представлены проценты, остающиеся в единственном "хвосте" при различном количестве стандартных отклонений от средней. При единичном стандартном отклонении охвачены все возможные события, за исключением 15,77%. Следовательно, определив величину стандартного отклонения для ряда наблюдений, а также среднюю из этих наблюдений, аналитик вправе заключить, что со степенью доверия 84,23% (1—15,77%) любое новое наблюдение будет превышать величину, равную средней за минусом единичного стандартного отклонения. Для тех, кто совершенно не приемлет риска (или кто недоволен низкой стоимостью ссуд), два стандартных отклонения охватят 97,72% (1— 2,28%) всех возможностей и т.д.

Если известна опасная точка, ее взаимосвязь с единичным стандартным отклонением можно использовать для расчета числа стандартных отклонений ниже средней. Тогда можно определить доверительный интервал. Наоборот, если желателен некий доверительный интервал, основанный на неприятии риска кредитором, можно проделать обратный расчет. Например, доверительный интервал в 84,23% будет включать все потоки наличности выше средней величины за минусом одного стандартного отклонения.

ступление наличности покроет постоянные расходы, но имеется всего 10 наблюдений. Возьмите колонку "10 наблюдений" и двигайтесь вниз до пересечения с 9,75% (строка 14). Сравните с колонкой "количество стандартных отклонений" и найдите в ней 1,4 стандартного отклонения. Ответ таков: поступление средств будет превышать 1,4 стандартного отклонения ниже средней в 90% случаев. Следовательно, если в примере среднее поступление наличности составляет 20 тыс. долл., а стандартное отклонение — 5 тыс. долл., в 90% случаев поток наличности превысит 20 000 долл. — 1,4 х 5000 долл. = 13 000 долл. Если этого достаточно, существует 90%-ная уверенность в возврате долга.

Если же аналитик разделит постоянные расходы (9 тыс. долл.) на стандартное отклонение (5 тыс. долл.), он получит 1,8 раза, и тогда очевидно, что эти расходы будут покрыты в 95% случаев. (Спускаясь вниз по колонке "Количество стандартных отклонений" до строки 1,8, а далее до колонки "10 наблюдений", вы найдете 5,14%, что представляет собой вероятность отсутствия средств; следовательно, вероятность их наличия равна 94,86%.)

Предположим, что, имея в виду уровень руководства и положение фирмы на рынке, для обоснования прогноза движения средств требуется только единичное стандартное отклонение. Это означает, что аналитик может быть уверен примерно на 81,91% в том, что при 10 наблюдениях будут охвачены возможные варианты одного края распределения. (См. в табл. 9.4 пересечение строки "1,0" колонки "Количество стандартных отклонений с колон-

Объективный метод определения значимости отклонений может предоставить статистика. Например, если для прямых материальных затрат характерно нормальное распределение и величина нормативных затрат определяется математическим ожиданием (средним значением этого распределения), границы контроля можно установить статистически. Основываясь на предположении о нормальном распределении, можно ожидать, что приблизительно в 95% случаев выпуск продукции потребует прямых материальных затрат в пределах норматива ± 2а (а — среднеквадратичное отклонение от средней величины — СКО), а в 99% случаев — норматив ± За. Иными словами, в 95% случаев фактический расход прямых материалов окажется в границах ± 2 стандартных отклонения от величины норматива, а в 99% случаев отклонение расхода не превысит Зст.

Стандартное отклонение — мера компактности вероятностного распределения. Для нормального колоколообразного распределения приблизительно 68% общей площади распределения попадает в интервал, ограниченный одним стандартным отклонением от средней. Вероятность того, что значения попадут в интервал, ограниченный двумя стандартными отклонениями, приблизительно составляет 95%, а вероятность того, что оно попадет в 3 стандартных отклонения превышает 99% (см. таблицу нормального распределения в приложении Б к этой главе). Как мы увидим позже, стандартное отклонение используют для того, чтобы оценить вероятность появления события.

Таблица 14Б.1 показывает пространство нормального распределения, т. е. А'стандартных отклонения влево и вправо от среднего. Проверка предусматривается по методу "один хвост", так как мы рассматриваем либо одну, либо другую область распределения. Участок под кривой, соответствующий вероятности того, что имело место 1,5 стандартных отклонений или более вправо от средней, на рис. 14.9 изображен заштрихованной площадью. По табл. 14Б.1 находим, что данному отклонению соответствует

Такое распределение сохраняется независимо от того, насколько "приземиста" колоколообразная кривая распределения. Рассмотрим крайне разбросанные распределения, например, для второстепенных акций. Если 37,3% умножить на 3 (чтобы учесть три стандартных отклонения), результат будет включать самое дальнее от средней наблюдение, так как итог будет равен 124 пунктам

вправо от нулевой точки (т.е. 111,9 плюс 12,1 средняя). Наоборот, применительно к обыкновенным акциям 3 раза по 22 плюс средняя 9,1 равно 75,1 вправо от нулевой точки. Три стандартных отклонения от средней вбирают в себя преобладающую часть наблюдений. Так что, хотя наблюдения могут однозначно и не указывать на строго нормальную форму кривой, ее свойства в отношении стандартных отклонений и процентов охваченных событий могут быть чрезвычайно полезными для многих распределений.

Например, менеджеры могут пожелать узнать, с определенной степенью доверия, вероятность того, что потоки средств сократятся ниже некоего уровня. (Термин "доверительные пределы" — это то же, что процент случаев, охватываемых при тех или иных стандартных отклонениях.) Очевидно, что необходимость выполнить обязательства по возврату ссуды предполагает некое минимальное поступление средств в результате операций. Если предположить, что кредитора интересует только один край распределения (нижняя часть), а вся верхняя часть распределения над средней (где фирма превышает минимум средств) не внушает беспокойства, каждый уровень стандартного отклонения внушает больше доверия, чем указано выше.

В табл. 9.3 представлены проценты, остающиеся в единственном "хвосте" при различном количестве стандартных отклонений от средней. При единичном стандартном отклонении охвачены все возможные события, за исключением 15,77%. Следовательно, определив величину стандартного отклонения для ряда наблюдений, а также среднюю из этих наблюдений, аналитик вправе заключить, что со степенью доверия 84,23% (1—15,77%) любое новое наблюдение будет превышать величину, равную средней за минусом единичного стандартного отклонения. Для тех, кто совершенно не приемлет риска (или кто недоволен низкой стоимостью ссуд), два стандартных отклонения охватят 97,72% (1— 2,28%) всех возможностей и т.д.

3 Даже имея данные за 63 года, мы не можем быть уверены, что этот период достаточно представителен и что полученная средняя величина не искажена несколькими необычно высокими или низкими доходами. Степень реалистичности полученной средней величины обычно оценивают с помощью показателя средней квадратичной погрешности. Например, средняя квадратичная погрешность рассчитанной нами средней премии за риск по обыкновенным акциям составляет 2,6%. Существует 95%-ная вероятность, что верная средняя находится в пределах ± 2 стандартных отклонения от полученного значения 12,1 %. Другими словами, если бы вы сказали, что верная средняя находится в пределах между 6,9% и 17,3%, вероятность того, что вы оказались правы, составляла бы 95%. (Замечание относительно техники расчетов: средняя квадратичная погрешность равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень из числа наблюдений. В нашем случае стандартное отклонение составляет 20,9%, следовательно, средняя квадратичная погрешность равна 20,9^/63^= 2,6.)

Элементы прямоугольников, расположенных по этой диагонали, зависят от дисперсий акций 1 и 2, элементы двух других прямоугольников зависят от их ковариации. Как вы можете предположить, ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух акций. Ковариация может быть выражена умножением коэффициента корреляции р,2 на два стандартных отклонения":

Рассмотрим, например, акции с ожидаемой доходностью в 10% и стандартным отклонением в 20%. При нормальном распределении существует вероятность, равная примерно 0,95, что фактическая доходность попадет в интервал, ограниченный с од_ ной стороны ожидаемой доходностью и двумя стандартными отклонениями (10% х 20% = 50%), а с другой стороны — ожидаемой доходностью минус два стандартных отклонения (10% - 2 х 20% = -30%). Диапазон доходностей, который ограничен ми_ нимальным значением -30% и максимальным значением 50%, с вероятностью О, представляет собой доверительный интервал для доходности данных акций.

Годовая процентная ставка по немецкой марке составляет 4,00%, а годовая волатильность прогнозируется на уровне 10%. Таким образом, стандартное отклонение составляет ±0,40, а два стандартных отклонения — ±0,80.

Навигация

Главная

Новое

Акционер Америка Агрессивность