Случайных переменных

предполагающая построение некоторого варианта бюджета. При этом по основным характеристикам модель бюджета является детерминированной, однако стохастическая природа параметров в ней учитывается одним из двух способов — либо по модели проводятся многократные расчеты, отвечающие конкретным значениям случайных параметров, либо вместо случайных величин могут использоваться их статистические оценки.

Как уже отмечалось, при построении прогноза бюджета можно использовать какие-либо конкретные значения случайных параметров (страховых взносов, страховых выплат и т. п.), а можно вместо этих конкретных значений использовать их статистические оценки. Поэтому при формировании статей бюджета, последующем прогнозировании, планировании, анализе и контроле показателей рекомендуется либо осуществлять многовариантные расчеты по определению прогноза бюджета, которые отвечают различным конкретным значениям случайных параметров, либо проводить статистическое оценивание случайных параметров и использовать полученные оценки при построении прогноза или плана бюджета.

В зависимости от содержания и сферы приложения задачи решение (план) представляет собой детерминированный или случайный вектор. Существуют ситуации, когда необходимо обеспечить удовлетворение ограничений при всех реализациях случайных параметров. В этом случае возникают жесткие постановки задачи стохастического программирования. Дифференцированная оценка областей определения, имеющих различные вероятности реализации, установление штрафов на величину невязок приводят к более реалистичным нежестким постановкам.

В одноэтапных задачах решение представляет собой детерминированный вектор, определенный до наблюдения случайных параметров условий на основе априорной оценки ситуации, или решающее правило, позволяющее вычислить численное значение решения в зависимости от реализованных значений случайных исходных данных. В зависимости от содержания решение стохастической задачи определяется в чистых или смешанных стратегиях. В чистых стратегиях механизм решения является детерминированным и определяет решение в виде вектора или вектор-функции, зависящей от случайных исходных данных. Смешанная стратегия использует случайный механизм решения и определяет решающие распределения.

Имеется ряд прикладных задач планирования и управления в условиях неполноты информации, для которых решения должны определяться до реализации случайных параметров условий на основе априорной оценки статистических характеристик. В процессе реализации предварительно принятых решений появляется информация о фактических реализациях случайных параметров, которая может быть использована для корректировки исходного решения и компенсации возникших невязок. Решение подобных задач состоит из предварительного и корректирующего планов. Подобные двух- или многоэтапные постановки отражают динамику процессов управления и учитывают адаптируемость реальной системы в изменяющихся условиях.

где РЫ {•} - известная функция случайного аргумента, которая может представляться математическим ожиданием, дисперсией, вероятностью превышения заданной случайной функцией некоторого фиксированного порога; /0 (oj, x) - случайная функция; /(со, х) — случайная вектор-функция; х - вектор переменных задачи; u>en - набор случайных параметров условий задачи; П — пространство элементарных случайных событий; 0 — нуль-вектор; у — детерминированный вектор, ограничивающий снизу вероятность попадания решения в допустимую область; М/(и>, х) - математическое ожидание случайной вектор-функции /(со, х); Р{'}-вероятность выполнения некоторого случайного условия задачи; С° (и>) - заданное случайное множество возможных значений переменных х.

которые должны выполняться при всех реализациях случайных параметров со.

Решающие распределения определяют решение задачи (3.1) —(3.4) в виде вероятностных распределений компонент оптимального плана X, а решающее правило — в виде вектор-функций х, зависимых или независимых от реализации случайных параметров условий задачи.

Рассмотрим возможности применения различных постановок одно-этапной задачи стохастического программирования для оптимизации текущей производственной программы НПП. Отличительной особенностью производственной программы является то, что она принимается до наблюдения реализаций случайных параметров условий задачи и не может быть скорректирована по фактически реализованным значениям внешних и внутренних связей.

Практическое применение постановки (3.5)-(3.7) затрудняется тем, что ограничения (3.7) должны удовлетворяться при всех реализациях случайных параметров задачи. В подобной постановке задача планирования может не иметь допустимого решения, а в тех случаях, когда решение удовлетворяет ограничениям (3.6), (3.7), оно может оказаться неприемлемым по значению целевого функционала (3.5). Один из основных недостатков постановки (3.5) —(3.7) заключается в отсутствии дифференцированной оценки различных состояний среды и порождаемых этими состояниями невязок с точки зрения их влияния на качество решения. В практических задачах подобного рода необходимо соизмерять затраты на компенсацию невязок с достигаемым при этом приращением целевого функционала.

Недостатков, свойственных одноэтапным жестким постановкам, лишены двухэтапные нежесткие или однозтапные вероятностные постановки. Учитывая, что в двухэтапных задачах принятие решения осуществляется в два этапа (предварительное решение — наблюдение — корректирующее решение) и связано с наблюдением реализаций случайных параметров условий задачи, которое не может быть осуществлено до принятия решения, рассмотрим прикладные возможности одно-этапной вероятностной модели.

2. Указать вероятности случайных переменных: удельные переменные затраты и объем спроса.

4. Ввести в компьютер данные о случайных переменных и соответствующие им интервалы случайных чисел, а также формулы математических зависимостей. Например: 12 ф.ст. — удельные переменные затраты = удельный вклад; объем спроса х удельный вклад = совокупный вклад. Затем компьютер может рассчитать по формулам указанные значения для каждой моделируемой комбинации уровня спроса и переменных затрат. Для моделирования комбинаций в компьютере используется генератор случайных чисел. Генератор следует статистическому закону распределения случайных чисел, т.е. все числа имеют равные шансы выпасть. Предположим, что первое выпавшее случайное число относится к объему спроса и равно 17; это означает, что "смоделированный" компьютером уровень спроса равен 60 000 ед., так как все случайные числа от 00 до 19 приписаны данному уровню.

ю Интуитивное объяснение. Если цена акции изменяется случайным образом (см. раздел 13—2), последовательные изменения цены статистически независимы. Общее изменение цены до истечения срока исполнения опциона равно сумме t случайных переменных. Дисперсия суммы независимых случайных переменных равна сумме дисперсий этих переменных. Итак, если а2 является дисперсией ежедневного изменения цены и до истечения срока исполнения осталось t дней, дисперсия общего изменения цены равна a2t.

Стохастический (прил.) ...2 (мат.) — процесс, имеющий бесконечную последовательность совместно распределенных случайных переменных (Новый толковый словарь Вебстера).

ю Интуитивное объяснение. Если цена акции изменяется случайным образом (см. раздел 13—2), последовательные изменения цены статистически независимы. Общее изменение цены до истечения срока исполнения опциона равно сумме t случайных переменных. Дисперсия суммы независимых случайных переменных равна сумме дисперсий этих переменных. Итак, если а2 является дисперсией ежедневного изменения цены и до истечения срока исполнения осталось f дней, дисперсия общего изменения цены равна a 2t.

Распределение изменений цены в общем случае относится к распределениям Парето (см. приложение В). Распределение торговых P&L можно считать трансформацией распределения цен. Эта трансформация является результатом торговых методов, когда трейдеры пытаются понизить свои убытки и увеличить прибыли, следовательно, распределение торговых P&L можно отнести к распределениям Парето. Однако распределение, которое мы будем изучать, не является распределением Парето. Распределение Парето, как и все другие функции распределения, моделирует определенное вероятностное явление. Оно моделирует распределение сумм независимых, идентично распределенных случайных переменных. Функция распределения, которую мы будем изучать, не моделирует конкретное вероятностное явление. Она моделирует многие унимодальные функции распределения. Поэтому она может повторить форму и плотность вероятности распределения Парето, а также любого другого унимодального распределения. Теперь мы создадим эту функцию. Для начала рассмотрим следующее уравнение:

Чаще всего совместные вероятности для двух случайных переменных представляются в табличной форме. Например, для нашего потока исходов одновременного бросания двух монет (ОО, ОР, РО, РР) мы можем составить таблицу, демонстрирующую эти четыре одновременных события:

тогда имеет место стохастическая независимость. Часто через это уравнение определяют совместную вероятность независимых случайных переменных.

Как вы увидите в следующей главе, для реализации более совершенного подхода к инвестированию имелось все, кроме способа расчета совместных вероятностей по любым значениям коэффициента корреляции между двумя потоками случайных переменных.

Таким образом, х, равное 0,125, составляет совместную вероятность k-й комбинации сценариев. (Отметьте, что мы собираемся определить совместную вероятность трех случайных переменных с использованием совместных вероятностей двух случайных переменных!)

Что такое ковариация? Это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг / и у, зависят друг от друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.

Навигация

Главная

Новое

Акционер Америка Агрессивность