Инвариантности отношения

Приемы цепных подстановок и арифметических разниц - достаточно простые и универсальные аналитические приемы. Однако они не инвариантны относительно порядка замены факторов. От того, в какой последовательности происходит замена, будет зависеть результат разложения.

^ ^ инвариантны относительно сдвига ^ л Отметим также, что V / ~ п К = К , Справедлива

1. Функции полезности инвариантны относительно положительных линейных преобразований. Так, функция предпочтения полезности In x, приведет к выбору тех же инвестиций, что и функции полезности 25 + In х, 7 * In x или (In х)/1,453456. То есть функция полезности, подвергнутая воздействию положительной константы (прибавлением, вычитанием, умножением или делением), приведет к выбору тех же самых инвестиций. Другими словами, она приведет к тому же набору инвестиций, максимизирующих полезность, что и до воздействия на нее положительной константой.

Например, обычные плитки, используемые для мощения полов, наделены дискретной трансляционной симметрией, так как они инвариантны относительно дискретных перемещений большого числа плиток, формирующих какой-то узор, поскольку этот узор повторяется периодически в замощении. Симметрия доставляет нам эстетическое удовольствие и ее можно увидеть в рисунках напольного покрытия, ковров или мебели, наблюдать в бриллиантах и древних храмах. Похоже, что природа создавала свои законы, положив в основу набор фундаментальных симметрии, таких как симметрия переноса, вращения и сдвига двух систем координат, движущихся на разных постоянных скоростях (так называемая инвариантность Галилея), а также набор скрытых симметрии, называемых калибровочными симметриями (они относятся к другим внутренним переменным, описывающим элементарные частицы). Похоже, что все природные явления, материя и энергия возникли лишь как небольшие отклонения от этих основных симметрии. Данные отклонения являются следствием спонтанных нарушений симметрии. Таким образом, трудно переоценить огромное значение симметрии для понимания организации и сложной структуры мира.

примеры рефлексивных, а отношение строгого неравенства > и отношение > — иррефлексивных отношений на Rm. Отношение равенства является симметричным, отношение нестрогого неравенства — антисимметричным, а отношения > и > — асимметричны- Все отношения =, >, >, ^ транзитивны и инвариантны относительно линейного положительного преобразования. Отношения равенства и отношение строгого неравенства, очевидно, являются частичными. Отношение нестрогого неравенства ^, рассматриваемое на множестве чисел, является полным, потому, что для любых двух чисел а и b выполнено а ^ Ь, либо b ^ а, либо оба эти неравенства одновременно. Если же отношения нестрогого неравенства рассмотреть на множестве векторов Rm при т > 1, то оно окажется лишь частичным.

Шкалой интервалов называется шкала, в которой результаты измерений определяются с точностью до (инвариантны относительно) линейного положительного преобразования ф,(у,) = a,j>; + с,-, где а, > 0 и с, — фиксированные числа. Типичным примером такой шкалы может служить шкала температур. Как известно, для измерения температуры имеются, например, шкалы Цельсия, Фаренгейта и Кельвина. Переход от результатов измерений в одной шкале к результатам в другой происходит по формулам вида у; = а, у, + с,.

Теорема 2.6. Включения (2.15) (а также (2.12)) инвариантны относительно линейного положительного преобразования критериев.

Следствие 3.3. Включения (3.4) и (3.12) инвариантны относительно линейного положительного преобразования критериев /ь f2, ..-,/„,, а значит, результаты теоремы 3.4 могут быть использованы для задач многокритериального выбора, в которых значения указанных критериев вычисляются в количественных шкалах (интервалов, отношений и разностей).

Теорема 4.3. Включения (4.1) и (4.6) инвариантны относительно линейного положительного преобразования компонент векторного критерия g, определяемого равенствами (4.2).

Для критерия gm+i и преобразованного критерия gm+] являются эквивалентными друг другу. Следовательно, включения (4.1) и (4.6) инвариантны относительно линейного положительного Преобразования критерия gm+ ь а значит и всех компонент векторной функции g.v

Теорема 4.5. Включения (4.1) и (4.6) инвариантны относительно линейного положительного преобразования всех компонент векторного критерия g вида (4.7).

2.2. Требование инвариантности отношения предпочтения 51

2.2. ТРЕБОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 51

2.2. Требование инвариантности отношения предпочтения

Признаком инвариантности отношения >- является наличие у него свойств аддитивности и однородности. Иными словами, для любой пары векторов у', у" Rm, связанных соотношением у' у у", должно выполняться как соотношение^' + с) у (у" + с) для любого вектора с е R"', так и соотношение а у' у ау" для любого положительного числа а.

2.2. ТРЕБОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 53

2.2. ТРЕБОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 55

2.2. ТРЕБОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 57

Совершенно очевидно, что на практике подобную проверку осуществить невозможно из-за бесконечного числа сравниваемых пар векторов. На самом деле такая проверка в условиях инвариантности отношения предпочтения и не требуется. Все может быть сведено к сравнению лишь одной пары векторов у', у", для которой выполнено (2.2). Об этом свидетельствует следующий результат.

Теорема 2.4. Благодаря инвариантности отношения предпочтения >- можно считать, что в определении 2.1 векторы у', у': фиксированы. В частности, в этом определении можно положить

1. Эквивалентное более простое определение относительной важности для двух групп критериев. Для того чтобы в соответствии с определением 3.1 проверить, действительно ли одна группа критериев важнее другой группы, необходимо предложить ЛПР для сравнения бесконечное число пар векторов у', у" е Rm, удовлетворяющих соотношениям (3.1) при некоторых положительных параметрах wj, w*. Очевидно, что на практике подобную проверку осуществить невозможно из-за бесконечного числа сравниваемых пар векторов. На самом деле, как и в случае двух критериев (см. теорему 2.4), такая проверка в условиях инвариантности отношения предпочтения и не требуется. Достаточно убедиться в выполнении соотношений (3.1) лишь для некоторой одной фиксированной пары векторов у', у". Об этом свидетель-

Теорема 3.4. В силу инвариантности отношения предпочтения >-можно считать, что в определении 3. 1 векторы у', у" фиксированы. В частности, в нем можно положить

Лемма 4.1. Благодаря транзитивности и инвариантности отношения предпочтения у соотношения у > у1 и z > г' для произвольных векторов у, у', z, z' e Rm можно почленно складывать, т. е.

Навигация

Главная

Новое

Акционер Америка Агрессивность