|
Максимума понтрягина
Мы отчетливо это видим на рис. 3,17, где на оси абсцисс показано годовое потребление бензина женщиной с годовым доходом 20 000 долл., а на оси ординат — остающийся после приобретения доход. Предположим, что цена бензина — 1 долл. за галлон. Так как доход женщины равен 20000 долл., она ограничена точками на бюджетной линии АВ, которая имеет угловой коэффициент, равный — 1. При цене 1 долл. за галлон она может пожелать приобрести 5000 галлонов бензина и потратить 15000 долл. на другие товары, представленные точкой С. В этой точке она максимизирует полезность такого набора товаров (оказавшись на самой верхней из возможных кривой
Во-вторых, в каждой точке на кривой спроса потребитель максимизирует полезность, отвечая условию, что предельная норма замещения одежды продуктами питания равна соотношению цен продуктов питания и одежды. Как только цена на продукты питания падает, снижаются также отношение цен и предельная норма замещения. На рис. 4.1 соотношение цены снижается с 1 (2 долл./ 2 долл.) в точке D (так как кривая И) представляет касательную по отношению к бюджетной линии с угловым коэффициентом, равным —1 в точке В) до '/2 (1 долл./ 2 долл.) в точке Е и до '/« (0,5 долл./2 долл.) в точке F. Так как потребитель максимизирует полезность, предельная норма замещения одежды продовольствием уменьшается по мере нашего движения вниз по кривой спроса. Это свойство оправдывает интуитивное чувство, так как указывает, что относительная стоимость продовольствия падает, когда потребитель покупает его в больших размерах.
Снижение цены на товары имеет двоякое воздействие. Во-первых, потребители получают возможность воспользоваться ростом действительной покупательной способности. Они могут купить то же количество товаров за меньшее количество денег, и, таким образом, у них останется больше средств для дополнительных покупок. Во-вторых, они станут потреблять большее количество товара, который подешевел, и меньшее количество тех товаров, которые стали относительно дороже. Эти два процесса обычно происходят одновременно, но будет полезным провести между ними различия в нашем ан;шизе. Их специфика показана на рис. 4.4, где первоначальная бюджетная линия обозначена буквами RS и рассматриваются только два товара — продукты питания и одежда. Здесь потребитель максимизирует полезность за счет выбора «потребительской корзины» в точке А, достигая таким образом уровня полезности, соответствующего кривой безразличия И].
штабе, и поэтому эффекты, обсуждаемые нами, видны достаточно отчетливо). Первоначальная бюджетная линия представлена отрезком АВ, потребитель максимизирует полезность в точке С (на кривой безразличия Ид), покупая 1200 галлонов бензина и расходуя 7800 долл. на остальные товары. Если налог равен 50 центам за галлон, цена возрастает на 50 %, смещаясь к новой бюджетной линии AD. (Вспомним, что когда цена меняется, а доход остается фиксированным, бюджетная линия вращается вокруг осевой точки.)
Рабочий максимизирует полезность, выбирая точку А, отдыхая 16 ч в день и работая 8 ч в день с заработком 80 долл. Когда размер зарплаты поднимается до 20 долл. в
час, линия бюджета превращается в прямую RQ. (Возможны только 24 ч отдыха). Теперь рабочий максимизирует полезность в точке В, выбирая 20 ч отдыха в день (при 4 ч работы) и зарабатывая 80 долл. Если бы был только эффект замещения, ставка зарплаты стимулировала бы рабочего трудиться 12 ч (в точке С) вместо 8 ч. Однако эффект дохода действует в противоположном направлении. Он превосходит эффект замещения и снижает рабочий день с 8 до 4 ч. В реальной жизни кривая предложения труда с наклоном вниз может быть применима к студенту, работающему летом, чтобы накопить денег для учебы в этом году. Как только достигнута поставленная цель, студент бросает работу ради отдыха. Рост тарифной ставки приведет тогда к меньшему числу часов работы, так как дает студенту возможность заработать нужную сумму денег быстрее.
ции Роулса наиболее справедливое распределение максимизирует полезность наименее обеспеченных членов общества. Точка зрения Роулса могла бы соответствовать идее равного распределения благ, но это не обязательно. Предположим, например, что более высокое вознаграждение более продуктивных людей заставляет их лучше работать. Это приводит к росту производства товаров и услуг, часть которых может быть перераспределена в пользу беднейших членов общества.
Пусть к началу первого этапа домохозяйство обладает некоторым денежным ресурсом в объеме W. Оно разбивает его на дзе части, одна из которых идет на его потребление, а другая превращается в активы, приносящие доход, во втором периоде: либо в виде банковского депозита, либо тратится на приобретение ценных бумаг (обязательств), выпускаемых банками и фирмами. Поведение домохозяйства описывается двумерным вектором (С1,, С2), где С, — объем его и отребления в период ?=1,2. Если предположить, что качество потребления домохозяйства может быть оценено с помощью некоторой функции полезности u(Cir С2), то задача, решаемая им в рамках рассматриваемой модели, может быть сформулирована как выбор такого способа потребления (Cv C2), который максимизирует полезность с учетом бюджетных ограничений:
Зачастую критерий среднего геометрического критикуют за его нацеленность исключительно на максимизацию капитала и за то, что он максимизирует полезность только для логарифмической функции.
максимизирует полезность при заданной системе оплаты, то есть:
По мнению Бьюкенена, человек максимизирует полезность как в рыночном, так и в политическом обмене, А предположение о том, что как в экономической, так и в политической сфере люди преследуют корыстные интересы, разоблачает миф о государстве, у которого нет никаких иных целей, кроме заботы об общественных интересах. Государство — это люди, которые используют правительственные учреждения в собственных интересах. Государство — это арена конкуренции людей за влияние на принятие решений, за доступ к распределению ресурсов, за места в иерархической лестнице1.
Применим принцип максимума Понтрягина [12, 59] для опре-
В соответствии с принципом максимума Понтрягина в каж-
использованием принципа максимума Понтрягина.
"Принцип максимума" Понтрягина определяет математические условия, необходимые для того, чтобы управление оказалось оптимальным, причем без предварительного определения оптимальной траектории, а путем последовательного регулирования данного процесса.
Понтрягин Лев Семенович (1908—1988), математик, академик АН СССР (1958). С 1939 г. — зав. отделом Математического института им. Стеклова, одновременно профессор МГУ. Имеет фундаментальные научные достижения во многих областях математики и теории управления. Создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит т.н. принцип максимума Понтрягина. Почетный член многих зарубежных академий и научных обществ. Государственная премия СССР (1941), Ленинская премия (1966).
В данном разделе для описания поведения предприятий используется линейный вариант модели «затраты-выпуск», ориентированный на краткосрочное планирование (это соответствует постоянным коэффициентам модели) и задачи оптимального выбора весовых функций иог (t) в рамках схемы частичной компенсации природоохранных затрат предприятий, осуществляемой Центром. В целом (т.е. по состоянию и управлению) эти оптимальные задачи нелинейны и принадлежат так называемому классу билинейных задач оптимального управления. Для их исследования в данном случае оказался удобным аппарат принципа максимума Понтрягина [Понтрягин и др., 1961].
Для решения задачи (1.4.3), (1.4.4), (1.4.6) удобно использовать принцип максимума Понтрягина [Понтрягин и др., 1961]. Функция
оптимального управления, которую удобно решать при помощи принципа максимума Понтрягина. Реализуем эту схему.
В предыдущем параграфе рассмотрены билинейные варианты задачи оптмизации схемы частичной компенсации природоохранных затрат и ее решение на основе принципа максимума Понтрягина. Рассмотрим теперь достаточно общую нелинейную постановку, для исследования которой уже затруднительно использовать принцип максимума Понтрягина. Здесь мы воспользуемся теоремой о совместной оптимальности [Москаленко, 1983]. При этом результаты § 1.4 (в силу специфики постановок и методов решения) не являются частным случаем и имеют самостоятельное значение.
Векторный случай. Условия оптимальности для задачи (2.5)-(2.7) в общем случае имеют форму принципа максимума Понтрягина (см. гл. 9):
Задача о предельных возможностях термодинамических систем с несколькими источниками конечной емкости существенно сложнее рассмотренных выше задач с одним или двумя источниками, так как для каждого полуцикла замена независимой переменной времени на температуру одного из источников не упрощает задачи. Условия ее оптимальности могут быть записаны в форме принципа максимума Понтрягина.
Маркетинговому исследованию Маркетинговую концепцию Маркетинг концепция Маркетинг начинается Маркетинг ориентированный Магистральными трубопроводами Маркетинг продукции Маркетинг стратегии Маркирована надлежащим Марксистской политической Масштабах народного Масштабам производства Масштабов использования вывоз мусора снос зданий
|
|
|
|
Навигация
